材料力学 · 2026/10/14 · 更新 2026/10/15

剪力图和弯矩图怎么画？简支梁例题详解

本文在AI辅助下由原文翻译而成。请结合原文核对专业术语和公式。

画剪力图和弯矩图（SFD、BMD）的方法是：先求支座反力，再自左向右计算截面上的剪力 V 和弯矩 M，并依次画在梁的正下方；弯矩的最大值出现在剪力为零处。对跨度为 L 的简支梁：跨中集中力 P 时，反力各为 P/2，最大弯矩为 PL/4；满跨均布载荷 w 时，反力各为 wL/2，最大弯矩为 wL²/8，均在跨中。

跨度 6 m 的简支梁，跨中作用 12 kN 集中力；下方依次对齐画出剪力图（+6 kN，然后 −6 kN）和峰值为 18 kN·m 的三角形弯矩图 — 图1. 简支梁跨中集中力：每个支座反力都是 P/2，剪力在力的作用点处下降 P，弯矩在剪力过零处达到最大值 PL/4 = 18 kN·m（示例数据）。

画剪力图和弯矩图的步骤

方法适用于任何静定梁。下面两个例题都取跨度 6 m 的简支梁：左端固定铰支座，右端可动铰支座。

画受力图，求支座反力。由 ΣF_y = 0 和 ΣM = 0 解出反力；分布载荷仅在这一步可暂用合力代替。
标出关键点：支座、集中力、集中力偶，以及分布载荷的起止点。相邻关键点之间，每张图只服从同一个公式。
自左向右画剪力图，从 V = 0 开始。向上的力使 V 向上突变，向下的力使 V 向下突变；分布载荷使 V 的改变量等于这段载荷图形的面积。
找出 V = 0 的位置。这些位置就是最大弯矩的候选点。
画弯矩图，从铰支座处的 M = 0 开始。两点间 M 的改变量，等于这两点间剪力图的面积。
检查两张图是否闭合：到右支座时 V 回到零，M 也回到零。

符号规定：选定一种，全程不变

切开处两侧截面上的内力大小相等、方向相反，只说“向上”或“向下”定不出正负，必须事先约定。本文采用常见的教材约定（与开放教材 Engineering Statics: Open and Interactive 一致），向下的载荷记为正：

物理量	何时为正	画在哪里
剪力 V	作用在左段梁切开面上的方向向下（对右段梁则向上），等价于使微段有顺时针转动趋势；口诀“左上右下”（左侧外力向上、右侧外力向下为正）	画在轴线上方
弯矩 M	使梁弯成凹面朝上的形状（下凸、“笑脸”形）：上侧纤维受压，下侧纤维受拉；口诀“左顺右逆”（左侧外力对截面形心的力矩顺时针、右侧逆时针为正）	画在轴线上方
分布载荷 w	方向向下	标在梁的简图上

按这套约定，dV/dx = −w，dM/dx = V。若教材把向上的载荷记为正，则写作 dV/dx = w，画出的图相同。有些结构类课程（如代尔夫特理工大学的课程）把弯矩图画在构件受拉的一侧，下凸的正弯矩便出现在轴线下方。无论哪种，同一道题里切勿混用。

例题 1：跨中集中力（M_max = PL/4）

取 P = 12 kN 作用在跨中（示例数字）。对左支座取矩，得 R_B × 6 = 12 × 3，所以 R_B = 6 kN；再由竖向力平衡得 R_A = 6 kN，正是 P/2。

剪力：V 在左支座处向上突变到 +6 kN，并在无载荷的左半跨保持不变；到跨中，12 kN 的集中力使它降到 −6 kN，右支座反力再把它拉回零。剪力图是两个矩形。

弯矩：0 ≤ x ≤ 3 m 时，M = 6x（kN·m），是斜率等于剪力（+6）的直线，在 x = 3 m 处达到峰值：M_max = 6 × 3 = 18 kN·m，恰为 PL/4 = 12 × 6 ÷ 4；正剪力矩形的面积同样是 6 × 3 = 18。右半跨以 −6 的斜率回落到零，弯矩图是三角形。

例题 2：均布载荷（M_max = wL²/8）

现在把 w = 4 kN/m 的均布载荷（土木类教材多写作“均布荷载”）铺满同样的 6 m 跨度，合计 24 kN。每个反力都是 wL/2 = 12 kN。

剪力：V = 12 − 4x。从 +12 kN 开始，沿斜率 −w = −4 kN/m 的直线下降，x = 3 m 处过零，到右支座为 −12 kN。

弯矩：M = 12x − 2x²，是抛物线。x = 3 m 处 M_max = 36 − 18 = 18 kN·m，既等于 wL²/8 = 4 × 36 ÷ 8，也等于正剪力三角形的面积 ½ × 12 × 3。四分点（x = 1.5 m 和 4.5 m）处 M = 13.5 kN·m，是峰值的四分之三。

跨度 6 m 的简支梁，满跨作用 4 kN/m 均布载荷；剪力图是从 +12 kN 直线下降到 −12 kN，弯矩图是跨中峰值为 18 kN·m 的抛物线 — 图2. 均布载荷：剪力由 +wL/2 直线下降到 −wL/2；弯矩是抛物线，峰值 wL²/8 = 18 kN·m，等于正剪力三角形的面积（示例数据）。

均布载荷的总量（24 kN）是例题 1（12 kN）的两倍，最大弯矩却相同：同样大小的总载荷 W，均匀铺开产生 WL/8，仅为集中在跨中时 WL/4 的一半。两个结果都与美国木材委员会（AWC）的梁公式表一致。

对比项	跨中集中力 P	均布载荷 w
支座反力	各为 P/2	各为 wL/2
剪力图形状	两个矩形，+P/2 和 −P/2	由 +wL/2 到 −wL/2 的直线
弯矩图形状	三角形	抛物线
最大弯矩	跨中 PL/4	跨中 wL²/8
示例（L = 6 m）	P = 12 kN → 18 kN·m	w = 4 kN/m → 18 kN·m

载荷、剪力、弯矩之间的微分关系

两个关系式就能解释所有图形的形状。取向下的载荷为正时，dV/dx = −w(x)：剪力图的斜率是载荷集度的相反数；dM/dx = V(x)：弯矩图的斜率等于该处的剪力。

每积分一次，多项式的次数加一。无载荷时，V 为常数，M 为直线；均布载荷下，V 为直线，M 为抛物线；线性变化（三角形）的分布载荷下，V 为抛物线，M 为三次曲线。集中作用则不同：集中力使 V 突变，突变量等于力的大小，并使 M 出现折点（斜率改变，M 本身并不跳变）；集中力偶不改变 V，却使 M 突变，自左向右看，顺时针的力偶使 M 向上突变。速记：无载荷，V 平 M 斜；均布载荷，V 斜 M 弯；集中力，V 跳 M 折；力偶，V 不动 M 跳。

形状规律速查图：无载荷时剪力为常数、弯矩为直线；均布载荷时剪力为直线、弯矩为抛物线；集中力处剪力突变、弯矩出现折点；集中力偶处剪力不变、弯矩突变 — 图3. 由 dV/dx = −w 和 dM/dx = V 得到的形状规律：每一段上的载荷，决定了该段剪力图和弯矩图的形状。

由于 dM/dx = V，V 过零之处，M 必有局部极值，例题 1 中 V 跳变着穿过零，同样适用。此外还要检查梁端和弯矩突变处：悬臂梁的最大弯矩在固定端，那里的剪力并不为零。

检查你的图形：常见错误

中途换符号规定。例如截面方程用一种、作图用另一种，结果 V 或 M 的正负颠倒。
漏掉集中力处的突变。剪力图在那里必须是竖直的；画成斜线，说明把集中力当成了分布载荷。
把均布载荷下的弯矩图画成三角形。分布载荷下 M 是曲线，V = 0 处斜率为零，顶部平缓。
图形不闭合。右支座处的 V 或 M 不为零时，先回头检查支座反力。

常见问题

为什么最大弯矩出现在剪力为零的位置？

因为剪力就是弯矩图的斜率（dM/dx = V）。V 变号处，M 由增大转为减小，故在此达到峰值。

集中力不在跨中时怎么办？

设力 P 距左支座 a、距右支座 b，则左、右反力分别为 Pb/L 和 Pa/L，最大弯矩 M_max = Pab/L，出现在力的作用点处。取 P = 12 kN、a = 2 m、b = 4 m（示例数字），反力分别是 8 kN 和 4 kN，M_max = 16 kN·m。令 a = b = L/2，就回到 PL/4。

材料和截面形状会改变剪力图、弯矩图吗？

对简支梁这类静定梁不会：V 和 M 仅凭平衡条件就能求出。截面和材料到下一步才起作用，即把 M 换算成弯曲正应力或挠度时。

参考资料（英文）：美国木材委员会（AWC）梁设计公式表；Engineering Statics：载荷、剪力与弯矩的关系；Engineering Statics：图解法；代尔夫特理工大学开放课程：变形符号约定。