전단력 선도와 굽힘 모멘트 선도(SFD·BMD) 그리는 법: 단순보 예제
이 글은 AI의 도움을 받아 원문을 번역한 글입니다. 전문 용어와 수식은 원문과 함께 확인해 주세요.
전단력 선도(SFD, 전단력도)와 굽힘 모멘트 선도(BMD, 모멘트도)를 그리려면 먼저 지점 반력을 구한 다음, 보를 왼쪽에서 오른쪽으로 따라가며 단면에 작용하는 전단력 V와 굽힘 모멘트 M을 보 바로 아래에 차례로 그립니다. 최대 굽힘 모멘트는 전단력이 0이 되는 위치에서 생깁니다. 지간(지점 사이 거리)이 L인 단순보에서 중앙에 집중 하중 P가 작용하면 반력은 각각 P/2이고 최대 모멘트는 PL/4입니다. 등분포 하중 w가 작용하면 반력은 각각 wL/2이고 최대 모멘트는 wL²/8이며, 두 경우 모두 보 중앙에서 나타납니다.
SFD·BMD 그리는 순서 6단계
이 방법은 평형 조건만으로 반력이 정해지는 정정보에 쓸 수 있습니다. 아래 두 예제는 지간 6 m의 단순보이며, 왼쪽은 핀 지점(A), 오른쪽은 롤러 지점(B)입니다. 참고로 건축·토목 분야에서는 굽힘 모멘트를 휨모멘트라고도 부르는데, 같은 물리량입니다.
- 자유물체도를 그리고 반력을 구합니다. 힘의 평형 ΣFy = 0과 모멘트의 평형 ΣM = 0을 씁니다. 분포 하중은 이 단계에서만 합력으로 바꿔 계산해도 됩니다.
- 주요 점을 표시합니다. 지점, 집중 하중, 우력(집중 모멘트), 분포 하중의 시작점과 끝점입니다. 이 점들 사이 구간에서는 각 선도가 하나의 식을 따릅니다.
- 전단력을 왼쪽에서 오른쪽으로 그립니다. V = 0에서 출발합니다. 위로 향하는 힘을 만나면 V가 그 크기만큼 올라가고, 아래로 향하는 힘을 만나면 그만큼 내려갑니다. 분포 하중 구간에서는 하중의 면적만큼 V가 변합니다.
- V = 0인 위치를 찾습니다. 이 위치가 최대 모멘트의 후보입니다.
- 굽힘 모멘트를 그립니다. 핀 지점의 M = 0에서 출발합니다. 두 점 사이에서 M이 변하는 양은 그 구간 전단력 선도의 면적과 같습니다.
- 두 선도가 닫히는지 확인합니다. 오른쪽 지점에서 V가 0으로 돌아와야 하고, M도 0이어야 합니다.
부호 규약: 하나만 정해서 끝까지 쓰기
단면을 자르면 잘린 두 면에는 크기가 같고 방향이 반대인 내력이 짝으로 나타납니다. 그래서 “위쪽”이라는 말만으로는 부호를 정할 수 없습니다. 이 글은 V와 M에 교재에서 흔히 쓰는 규약(오픈 교재 Engineering Statics: Open and Interactive와 같은 방식)을 적용하고, 아래로 향하는 하중을 양(+)으로 둡니다.
| 물리량 | 양(+)이 되는 경우 | 그리는 위치 |
|---|---|---|
| 전단력 V | 왼쪽 조각의 절단면에서는 아래로, 오른쪽 조각의 절단면에서는 위로 작용할 때 | 기준선 위쪽 |
| 굽힘 모멘트 M | 보가 아래로 볼록하게(웃는 입 모양으로) 휠 때. 윗면 섬유는 압축, 아랫면 섬유는 인장 | 기준선 위쪽 |
| 분포 하중 w | 아래로 향할 때 | 보 그림 위 |
이 규약에서는 dV/dx = −w이고 dM/dx = V입니다. 위로 향하는 하중을 양으로 보는 교재는 dV/dx = w로 쓰지만, 그려지는 선도는 같습니다. 구조역학 과목 중에는 TU Delft 강의처럼 모멘트를 부재의 인장 쪽에 그리는 방식도 있어서, 이때는 아래로 볼록한 모멘트(sagging)가 기준선 아래에 나타납니다. 어느 쪽이든 한 문제 안에서는 규약을 섞지 마세요. 수업에서 정한 규약이 있다면 그것을 따르면 됩니다.
예제 1: 중앙 집중 하중(Mmax = PL/4)
중앙에 P = 12 kN이 작용한다고 합시다(예시 수치). 왼쪽 지점 A에 대해 모멘트 평형을 쓰면 RB × 6 = 12 × 3이므로 RB = 6 kN이고, 수직 방향 힘의 평형에서 RA = 6 kN입니다. 반력은 각각 P/2입니다.
전단력: V는 왼쪽 지점에서 +6 kN으로 뛰어오르고, 하중이 없는 왼쪽 절반에서는 일정합니다. 중앙에서 12 kN 하중을 만나 −6 kN으로 떨어지고, 오른쪽 반력이 이를 다시 0으로 되돌립니다. SFD는 직사각형 두 개가 됩니다.
굽힘 모멘트: 0 ≤ x ≤ 3 m에서 M = 6x(kN·m)이며, 기울기가 그 구간의 전단력 +6과 같은 직선입니다. x = 3 m에서 최대가 되어 Mmax = 6 × 3 = 18 kN·m이고, 이 값은 PL/4 = 12 × 6 ÷ 4와 같습니다. 양(+)의 전단력 직사각형의 면적 6 × 3 = 18과도 일치합니다. 오른쪽 절반은 기울기 −6으로 내려가 0이 되므로 BMD는 삼각형입니다.
예제 2: 등분포 하중(Mmax = wL²/8)
같은 6 m 지간 전체에 w = 4 kN/m를 고르게 작용시킵니다. 총 하중은 24 kN이고, 반력은 각각 wL/2 = 12 kN입니다.
전단력: V = 12 − 4x입니다. +12 kN에서 출발해 기울기 −w = −4 kN/m인 직선으로 줄어들고, x = 3 m에서 0을 지나 오른쪽 지점에서 −12 kN에 이릅니다.
굽힘 모멘트: V를 적분하면 M = 12x − 2x²인 포물선이 나옵니다. x = 3 m에서 Mmax = 36 − 18 = 18 kN·m이고, 이는 wL²/8 = 4 × 36 ÷ 8, 그리고 양(+)의 전단력 삼각형의 면적 ½ × 12 × 3과 같습니다. 1/4 지점(x = 1.5 m, 4.5 m)에서는 M = 13.5 kN·m로, 최댓값의 4분의 3입니다.
등분포 하중의 총량은 예제 1의 두 배(24 kN)인데도 최대 모멘트는 같습니다. 총 하중 W를 고르게 펼치면 WL/8이고, 같은 W를 중앙 한 점에 실으면 WL/4로 두 배가 되기 때문입니다. 두 결과는 미국 목재 위원회(AWC)의 보 공식표와도 일치합니다.
| 구분 | 중앙 집중 하중 P | 등분포 하중 w |
|---|---|---|
| 반력 | 각각 P/2 | 각각 wL/2 |
| SFD 모양 | 직사각형 두 개(+P/2, −P/2) | +wL/2에서 −wL/2까지 직선 |
| BMD 모양 | 삼각형 | 포물선 |
| 최대 모멘트 | 중앙에서 PL/4 | 중앙에서 wL²/8 |
| 예(L = 6 m, 예시 수치) | P = 12 kN이면 18 kN·m | w = 4 kN/m이면 18 kN·m |
하중·전단력·모멘트의 관계식
선도의 모양은 두 관계식으로 모두 설명됩니다. 아래로 향하는 하중을 양으로 두면 dV/dx = −w(x)이므로, 전단력 선도의 기울기는 하중 세기에 마이너스를 붙인 값입니다. 또 dM/dx = V(x)이므로 모멘트 선도의 기울기는 그 위치의 전단력과 같습니다. 이를 적분하면 두 점 사이에서 V의 변화량은 하중 면적에 마이너스를 붙인 값이고, M의 변화량은 전단력 선도의 면적입니다.
적분할 때마다 다항식의 차수가 하나씩 올라갑니다. 하중이 없으면 V는 일정하고 M은 직선, 등분포 하중이면 V는 직선이고 M은 2차 포물선, 하중 세기가 직선으로 변하는 삼각형 분포 하중이면 V는 2차 곡선이고 M은 3차 곡선입니다. 한 점에 집중된 작용은 다릅니다. 집중력은 크기만큼 V를 뛰게 하고 M에는 꺾임점을 만들며, 우력은 V를 그대로 두고 M을 뛰게 합니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 읽을 때 시계 방향 우력이면 M이 위로 뛰어오릅니다.
dM/dx = V이므로 V가 0을 지나는 곳마다 M은 극댓값이나 극솟값을 가집니다. 예제 1처럼 V가 0을 건너뛰며 부호가 바뀌는 경우도 마찬가지입니다. 보의 끝과 모멘트가 뛰는 지점도 함께 확인해야 합니다. 외팔보(캔틸레버)의 최대 모멘트는 V가 0이 아닌 고정단에 있습니다.
그린 선도 검산하기: 자주 하는 실수
답이 맞지 않는다면 아래 실수를 의심해 보세요.
- 계산 도중 부호 규약을 바꾸는 실수. 구간별 식과 그래프의 규약이 다르면 V나 M의 부호가 뒤집힙니다.
- 집중 하중에서 점프를 빼먹는 실수. 하중이 있는 위치에서 SFD는 수직선으로 뛰어야 합니다. 기울어진 선이 나왔다면 그 하중을 분포 하중처럼 다룬 것입니다.
- 등분포 하중의 BMD를 삼각형으로 그리는 실수. 분포 하중 아래에서 M은 곡선이며, V = 0인 곳에서는 기울기가 0이라 꼭대기가 평평합니다.
- 선도가 닫히지 않는 경우. 오른쪽 지점에서 V나 M이 0이 아니면 반력 계산부터 다시 확인합니다.
자주 묻는 질문
최대 굽힘 모멘트는 왜 전단력이 0인 곳에서 생기나요?
전단력이 모멘트 선도의 기울기(dM/dx = V)이기 때문입니다. V의 부호가 바뀌는 곳에서는 M이 증가를 멈추고 감소하기 시작하므로, 그 지점이 꼭대기가 됩니다.
집중 하중이 중앙에 없으면 어떻게 하나요?
왼쪽 지점에서 하중까지의 거리를 a, 오른쪽 지점까지의 거리를 b라 하면 반력은 왼쪽이 Pb/L, 오른쪽이 Pa/L이고, 최대 모멘트는 하중 바로 아래에서 Mmax = Pab/L입니다. P = 12 kN, a = 2 m, b = 4 m라면 반력은 8 kN과 4 kN이고 Mmax = 16 kN·m입니다(예시 수치). a = b = L/2를 넣으면 PL/4가 다시 나옵니다.
재료나 단면 모양에 따라 SFD와 BMD가 달라지나요?
단순보처럼 정정보라면 달라지지 않습니다. V와 M이 평형 조건만으로 정해지기 때문입니다. 단면과 재료는 M을 굽힘 응력이나 처짐으로 바꾸는 다음 단계에서 필요해집니다.
참고 자료: 미국 목재 위원회(AWC): 보 설계 공식(Design Aid No. 6), Engineering Statics: 하중·전단력·모멘트의 관계, Engineering Statics: 그래프를 이용한 방법, TU Delft OpenCourseWare: 변형 부호(Deformation signs)
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본문의 이해를 돕기 위해 제작한 설명용 삽화입니다.