평균의 평균이 틀리는 이유: 가중평균은 분모부터 찾으세요

두 반의 평균이 80점과 60점이면 전체 평균은 70점일까요? 학생 수가 같을 때는 그렇지만, 한 반이 10명이고 다른 반이 30명이면 전체 평균은 65점입니다. 집단 평균을 합칠 때는 숫자 두 개보다 각 평균이 몇 개의 관측값을 대표하는지가 중요합니다. 비율과 단가에서도 같은 문제가 생깁니다.

반 평균 예제로 분모 확인하기

설명을 위한 가상 자료입니다. A반은 10명, 평균 80점이므로 점수 합계가 800점입니다. B반은 30명, 평균 60점이므로 합계가 1,800점입니다. 전체는 40명에 2,600점이므로 2,600 ÷ 40 = 65점입니다. 평균 두 개를 더해 나누면 각 반에 동일한 영향력을 주는 70점이 나오지만, 학생 한 명씩 같은 비중으로 비교한 값과 다릅니다.

NIST의 가중평균 정의는 각 값에 가중치를 곱한 합을 가중치 합으로 나누는 방식입니다. 이 예에서 값은 반 평균이고 가중치는 학생 수입니다. 무엇을 한 단위로 볼 것인지가 계산을 결정합니다.

백분율을 합칠 때는 성공 건수로 돌아가기

가상의 두 매장에서 A는 10건 중 8건 성공하여 80%, B는 30건 중 18건 성공하여 60%라고 해 봅시다. 전체 성공률은 (8 + 18) ÷ (10 + 30) = 65%입니다. 80%와 60%의 단순 평균 70%는 매장 두 곳의 비율 평균이지, 전체 40건의 성공률이 아닙니다.

분모가 없으면 정확한 전체 비율을 복원할 수 없습니다. 반올림된 비율만 있으면 분모가 있어도 원래 건수를 정확히 알기 어려울 수 있습니다. 가능하면 성공 건수와 전체 건수를 함께 저장하고, 마지막 표시 단계에서만 반올림하세요. 서로 다른 기간이나 중복된 대상을 포함한 집단은 먼저 기준을 맞춰야 합니다.

무게와 평가 비중도 같은 구조

단가가 킬로그램당 3인 재료 2kg과 단가가 5인 재료 8kg을 섞으면 단위 무게당 평균은 (2 × 3 + 8 × 5) ÷ 10 = 4.6입니다. 단가 두 개의 평균 4가 아닙니다. 여기서 가중치는 킬로그램입니다. 점수 80에 30%, 점수 90에 70%를 반영하는 평가라면 80 × 0.3 + 90 × 0.7 = 87점입니다. 가중치의 합이 1이어서 추가 나눗셈이 눈에 보이지 않을 뿐입니다.

계산 도구보다 먼저 적어야 할 것

NumPy의 average 문서도 가중치 합으로 나누며 그 합이 0이 아니어야 한다고 설명합니다. 여기의 인원·질량·평가 비중처럼 비음수 가중치를 쓸 때 결과가 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있는지 확인하면 오류를 찾는 데 도움이 됩니다. 음수 가중치를 쓰는 특수 계산에는 이 확인법을 그대로 적용할 수 없습니다.

1. 답이 ‘사람당’인지 ‘집단당’인지 단위를 씁니다.
2. 각 값의 분모와 가중치의 뜻을 확인합니다.
3. 겹치는 대상이나 빠진 자료를 확인합니다.
4. 가능하면 합계와 건수를 직접 합쳐 계산합니다.
5. 마지막에 반올림하고 분모를 함께 보고합니다.

단순 평균이 언제나 잘못된 것은 아닙니다. 집단 자체를 똑같이 취급하려는 질문에는 적합합니다. 다만 전체 사람이나 건수의 평균을 묻고 있다면 그 분모에 맞춰 가중치를 주어야 합니다.

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