단리와 복리 차이: 복리 계산법과 72의 법칙을 표로 정리

단리는 처음 맡긴 원금에만 이자가 붙어서 해마다 같은 금액이 늘어나고, 복리는 이자를 잔액에 합쳐서 다음 이자를 계산하기 때문에 이자에도 이자가 붙습니다. 공식으로는 단리가 A = P(1 + rt), 복리가 A = P(1 + r/n)^nt입니다. 연 5%일 때 원금 1,000은 10년 뒤 단리로 1,500.00, 연복리로 1,628.89가 되고, 복리로 불어나는 돈이 두 배가 되는 시간은 72의 법칙으로 72 ÷ 5 = 14.4년쯤이라고 어림할 수 있습니다.

단리 공식과 복리 공식 비교

두 공식에 필요한 값은 같습니다. 달라지는 것은 이율을 곱하는 대상뿐입니다. 단리는 언제나 처음 원금에 곱하고, 복리는 이자가 붙어 커진 잔액에 곱합니다.

• 단리: 이자 I = P × r × t이므로 만기 금액은 A = P(1 + rt)입니다. 해마다 붙는 이자는 늘 P × r로 같습니다.
• 복리: A = P(1 + r/n)^nt입니다. 1년에 n번 이자를 잔액에 더하고, 더해진 이자는 그때부터 다시 이자를 낳습니다. 1년에 한 번 붙는 연복리(n = 1)라면 A = P(1 + r)^t로 간단해집니다.
• 연속 복리: A = Pe^rt입니다. n을 한없이 키웠을 때 도달하는 극한값이며, e는 약 2.71828입니다.

P는 원금, r은 소수로 쓴 명목 연이율(5%는 0.05), t는 연 단위 기간, n은 1년에 이자를 합치는 횟수입니다. 어느 경우든 총이자는 A − P이며, 복리 공식의 r/n은 이자를 한 번 붙일 때의 이율, nt는 이자를 붙이는 총 횟수입니다.

계산 예시: 원금 1,000을 연 5%로 30년

예시 수치입니다. 원금 1,000을 연 5%로 맡기고, 중간에 추가 입금이나 출금은 없다고 가정합니다.

기간(년)	단리: 1,000(1 + 0.05t)	복리: 1,000 × 1.05t	차이
1	1,050.00	1,050.00	0.00
5	1,250.00	1,276.28	26.28
10	1,500.00	1,628.89	128.89
20	2,000.00	2,653.30	653.30
30	2,500.00	4,321.94	1,821.94

1년 뒤에는 두 값이 같습니다. 아직 붙은 이자가 없으니 이자에 붙을 이자도 없기 때문입니다. 그 뒤로는 차이가 해마다 더 빠르게 벌어집니다. 30년째 한 해 동안 복리 잔액은 205.81(4,116.14의 5%)을 벌어, 단리가 해마다 더하는 50의 네 배를 넘습니다. 원금이 두 배가 되는 데 단리는 20년(100 ÷ 5)이 걸리지만, 복리는 14년째와 15년째 사이(각각 1,979.93과 2,078.93)에 도달합니다.

직접 계산할 때는 1.05를 10번 곱해 1.62889…를 얻고 1,000을 곱하면 됩니다. 계산기의 거듭제곱 키(x^y 또는 ^)나 엑셀의 =1000*(1+0.05)^10으로도 1,628.89가 나옵니다.

표의 차이 열은 말 그대로 이자에 붙는 이자입니다. 복리 잔액을 원금, 단리 이자, 이자에 붙는 이자 세 부분으로 나누어 보면, 30년째에는 이자에 붙는 이자(1,821.94)가 단리 이자를 전부 합친 값(1,500.00)보다 커집니다.

복리 주기에 따라 결과가 달라지는 이유: 월복리 계산

이율은 보통 명목 연이율로 표시하지만, 이자는 1년에 한 번 붙을 수도 있고 매월이나 매일 붙을 수도 있습니다. 명목 이율이 같다면 이자가 일찍 붙을수록 이자를 일찍 벌기 시작하므로 결과가 조금 더 커집니다. 1년 동안 실제로 불어난 비율을 실효 연이율(EAR)이라고 하며, (1 + r/n)ⁿ − 1로 구합니다. 연속 복리라면 e^r − 1입니다. 미국에서는 저축 계좌가 이와 비슷한 값을 APY(annual percentage yield)로 공시합니다.

월복리는 연이율을 12로 나눠 월 이율을 만들고, 횟수를 12t로 바꿔서 계산합니다. 명목 연 12%라면 월 1%씩 12번 붙이므로 1,000 × 1.01¹² = 1,126.83이고, 1년 이자는 126.83입니다.

명목 연 12%(예시 수치)에서 원금 1,000의 1년 이자는 연복리 120.00, 월복리 126.83(실효 연이율 12.68%), 일복리 127.47, 연속 복리 127.50입니다. 늘어나는 폭은 금방 줄어듭니다. 연복리에서 월복리로 바꾸면 6.83이 늘지만, 월복리에서 연속 복리까지 가도 0.67밖에 늘지 않습니다. 이 한계값이 바로 e를 정의하는 극한입니다. OpenStax 대수학 교재에도 100% 이율의 1이 월복리로 2.613035, 일복리로 2.714567이 되어 e ≈ 2.718282에 다가가는 표가 나옵니다.

72의 법칙: 원금이 두 배 되는 기간 어림하기

72의 법칙은 복리로 불어나는 기간을 암산으로 어림하는 요령입니다. 순서는 다음과 같습니다.

1. 연이율을 퍼센트 숫자 그대로 씁니다. 6%라면 6입니다.
2. 72를 그 숫자로 나눕니다. 72 ÷ 6 = 12이므로 약 12년 뒤에 두 배가 됩니다.
3. 거꾸로 구하려면 72를 기간(년)으로 나눕니다. 9년 만에 두 배가 되려면 연 72 ÷ 9 = 8% 정도가 필요합니다.

정확한 값은 (1 + r)^t = 2를 풀어서 얻는 t = ln 2 ÷ ln(1 + r)입니다. 여기서 ln은 자연로그입니다. 6%라면 0.6931 ÷ 0.05827 = 11.90년이므로, 72의 법칙과는 0.1년 정도밖에 차이 나지 않습니다.

왜 하필 72일까요? 연속 복리에서는 정확한 두 배 시간이 ln 2 ÷ r이고, 이것은 69.3 ÷ 퍼센트 이율과 같습니다. 연복리에서는 ln(1 + r)이 r보다 조금 작아서, 이율에 맞는 상수가 높은 이율일수록 조금씩 커집니다. 이율 2%에서 약 70.0, 6%에서 71.4, 8%에서 72.0, 10%에서 72.7입니다. 72는 흔히 쓰이는 이율 범위의 한가운데에 있고, 2·3·4·6·8·9·12로 나누어떨어져서 암산하기 편합니다. 2%에서 12% 사이라면 정확한 값과의 오차가 3% 이내입니다. 20%에서는 72 ÷ 20 = 3.6년으로, 정확한 값 3.80년보다 약 5% 짧게 나옵니다.

같은 계산이 반대로 작용할 때: 대출·물가·수수료

복리는 곱셈을 되풀이하는 계산이라서 불리하게 불어나는 금액에도 그대로 적용됩니다. 아래는 모두 예시 수치입니다.

• 갚지 않은 빚: 연 24%를 월 2%씩 나누어 잔액에 더하고 상환이 전혀 없다면, 35개월(약 2.92년) 만에 잔액이 두 배가 됩니다. 72의 법칙에 월 이율을 넣으면 72 ÷ 2 = 36개월입니다.
• 물가 상승: 물가가 연 3%씩 오르면 물가 수준이 약 23.4년 뒤에 두 배가 되고(72의 법칙으로는 24년), 같은 금액의 현금으로 살 수 있는 양은 대략 절반으로 줄어듭니다.
• 수수료 등 비용: 비용 때문에 원금 1,000의 연 증가율이 6%에서 5%로 낮아진다면, 30년 뒤 결과는 5,743.49에서 4,321.94로 줄어듭니다. 1,421.55, 즉 약 4분의 1이 사라지는 셈입니다.

복리 계산에서 자주 하는 실수

1. 5와 0.05 혼동하기. 공식에는 소수로 쓴 이율(0.05)을 넣어야 합니다. 퍼센트 숫자(5)를 쓰는 것은 72의 법칙뿐입니다.
2. 기간 단위 섞기. 월복리라면 기간당 이율은 r/12, 기간 수는 12t입니다. 연이율에 월 단위 기간을 그대로 넣으면 결과가 크게 틀어집니다.
3. 복리 주기가 다른 명목 이율을 그대로 비교하기. 이럴 때는 실효 연이율로 바꾼 뒤 비교해야 합니다.
4. 단리에 72의 법칙 쓰기. 단리에서 원금이 두 배가 되는 기간은 100 ÷ 이율(%)로 구합니다.

자주 묻는 질문

복리가 단리보다 항상 유리한가요?

같은 이율이라면 복리는 첫 번째 기간에는 단리와 같고, 그 뒤로는 단리보다 많아집니다. 그래서 맡기는 쪽은 같거나 더 많이 받고, 빌리는 쪽은 같거나 더 많이 냅니다. 이 글은 계산 원리만 설명하며 금융 조언이 아닙니다.

월복리에도 72의 법칙이 맞나요?

대체로 맞습니다. 월복리는 연속 복리에 아주 가깝고, 연속 복리에서 맞는 상수는 69.3입니다. 그래서 72로 계산하면 기간이 조금 길게 나옵니다. 연 6% 월복리에서는 12년이 아니라 11.58년 만에 두 배가 됩니다.

연속 복리 공식은 무엇인가요?

A = Pe^rt입니다. 예를 들어 1,000을 연 5%로 20년 동안 굴리면 1,000 × e¹ = 2,718.28이 됩니다.

72 대신 70이나 69.3을 써도 되나요?

이율에 따라 더 잘 맞는 상수가 다릅니다. 이율이 낮거나 연속 복리에 가까우면 70이나 69.3이, 8% 안팎에서는 72가 가장 가깝습니다. 72는 암산하기 쉽고 흔한 이율대에서 오차가 작아 널리 쓰입니다.

출처: 금융감독원 e-금융교육센터, 성인을 위한 실용금융(3)(단리·복리와 72의 법칙 설명 포함)(이 페이지의 연 5% 예시는 '144년'으로 적혀 있지만 14.4년이 맞습니다); OpenStax, College Algebra 2e, 6.1 지수 함수(복리 공식과 e); OpenStax, College Algebra 2e, 6.7 지수·로그 모형(두 배 시간); 미국 SEC Investor.gov, 복리란 무엇인가(72의 법칙).

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